Question

（2008•銅仁地區）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過A（-1，0），B（4，0），C（0，-4），⊙M是△ABC的外接圓，M為圓心．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求陰影部分的面積；
（3）在x軸的正半軸上有一點P，作PQ⊥x軸交BC于Q，設PQ=k，△CPQ的面積為S，求S關于k的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了A、B、C三點坐標可用待定系數法求出拋物線的解析式．
（2）要求扇形的面積需要知道半徑的長和扇形的圓心角的度數，先求圓心角∠AMC的度數，由于OB=OC，因此∠ABC=45°，根據圓周角定理可得出∠AMC=90°．再求半徑，由于三角形AMC是等腰直角三角形，因此半徑的平方等于AC的平方的一半，可在直角三角形OAC中求出AC的平方，據此可根據扇形的面積公式求出扇形的面積．
（3）求三角形CPQ的面積可以PQ為底，以OP為高，已知了PQ=k，在等腰直角三角形BPQ中，BP=PQ=k，也就能表示長OP的長，據此可求出S與k的函數關系，根據函數的性質即可求出S的最大值．
解答：解：（1）由拋物線經過A（-1，0），B（4，0），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-4），
將C（0，-4）代入上式中，得-4a=-4，a=1．
∴y=（x+1）（x-4）=x²-3x-4．

（2）∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-4）．
∴OB=OC=4，OA=1
∴∠OBC=45°，∴∠AMC=90°
∴AM²+MC²=OA²+OC²=1²+4²=17
∴AM²=CM²=，
∴S_陰影==π．

（3）∠OBC=45°，PQ⊥x軸；
∴BP=PQ=k，
∴S=k•（4-k）=-k²+2k．
∴當k=2時，Smax=2．
點評：本題考查了二次函數解析式的確定、扇形面積計算公式、等腰直角三角形的性質等知識．