Question

【題目】探究題

已知：如圖1，，．求證：．

老師要求學生在完成這道教材上的題目證明后，嘗試對圖形進行變式，繼續做拓展探究，看看有什么新發現？

（1）小穎首先完成了對這道題的證明，在證明過程中她用到了平行線的一條性質，小穎用到的平行線性質可能是 .

（2）接下來，小穎用《幾何畫板》對圖形進行了變式，她先畫了兩條平行線，然后在平行線間畫了一點，連接后，用鼠標拖動點，分別得到了圖2，3，4，小穎發現圖3正是上面題目的原型，于是她由上題的結論猜想到圖2和4中的、與之間也可能存在著某種數量關系．于是她利用《幾何畫板》的度量與計算功能，找到了這三個角之間的數量關系．

請你在小穎操作探究的基礎上，繼續完成下面的問題：

①猜想圖2中、與之間的數量關系并加以證明；

②補全圖4，直接寫出、與之間的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）兩直線平行同旁內角互補；（2）①∠BDF=∠B+F；②∠F=∠B+∠BDF

【解析】

(1)根據兩直線平行同旁內角互補即可解決問題；

(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F.過點D作CD//AB.利用平行線的性質即可解決問題；

②∠BDF與∠F之間的數量關系是∠F=∠B+∠BDF.利用平行線的性質已經三角形的外角的性質即可解決問題；

．

：(1)兩直線平行同旁內角互補．

故答案為兩直線平行同旁內角互補．

(2)①猜想∠BDF=∠B+∠F．

證明：過點D作CD//AB．

∴∠B=∠BDC．

∵AB//EF，∴CD//EF．

∴∠CDF=∠F．

∵∠BDF=∠BDC+∠CDF，

∴∠BDF=∠B+F．

②補全圖形如圖所示：∠B、∠BDF與∠F之間的數量關系是∠F=∠B+∠BDF．

理由：∵AB//EF，

∴∠1=∠F，

∵∠1=∠B+∠D，

∴∠F=∠B+∠BDF．

故答案為∠F=∠B+∠BDF．