Question

【題目】已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，若E在直線(xiàn)AC上任意一點(diǎn)，DF⊥DE，交直線(xiàn)BC于F點(diǎn)．G為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H．

（1）若E在邊AC上．

①試說(shuō)明DE=DF；

②試說(shuō)明CG=GH；

（2）若AE=3，CH=5．求邊AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；（2）AC=7或1．

【解析】

試題分析：（1）①連接CD，推出CD=AD，∠CDF=∠ADE，∠A=∠DCB，證△ADE≌△CDF即可；②連接DG，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)求出CG=EG=GF=DG，推出∠GCD=∠GDC，推出∠GDH=∠GHD，推出DG=GH即可；

（2）求出EF=5，根據(jù)勾股定理求出EC，即可得出答案．

試題解析：（1）①連接CD，∵∠ACB=90°，D為AB的中點(diǎn)，AC=BC，∴CD=AD=BD，又∵AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠EDA+∠EDC=90°，∠DCF=∠DAE=45°，∵DF⊥DE，∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，∵∠A=∠DCF，AD=CD，∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF，∴DE=DF；

②連接DG，∵∠ACB=90°，G為EF的中點(diǎn)，∴CG=EG=FG，∵∠EDF=90°，G為EF的中點(diǎn)，∴DG=EG=FG，∴CG=DG，∴∠GCD=∠CDG．又∵CD⊥AB，∴∠CDH=90°，∴∠GHD+∠GCD=90°，∠HDG+∠GDC=90°，∴∠GHD=∠HDG，∴GH=GD，∴CG=GH；

（2）如圖，當(dāng)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，∵CG=GH=EG=GF，∴CH=EF=5，∵△ADE≌△CDF，∴AE=CF=3，∴在Rt△ECF中，由勾股定理得：CE==4，∴AC=AE+EC=3+4=7；

如圖，當(dāng)E在線(xiàn)段CA延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，AC=EC﹣AE=4﹣3=1，綜合上述：AC=7或1．