Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=2，且拋物線經過A（﹣1，0），C（0，﹣5）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）設點P為拋物線上的一個動點，連接PB、PC，若△BPC是以BC為直角邊的直角三角形，求此時點P的坐標；
（3）在拋物線上BC段有另一個動點Q，以點Q為圓心作⊙Q，使得⊙Q與直線BC相切，在運動的過程中是否存在一個最大⊙Q？若存在，請直接寫出最大⊙Q的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵對稱軸為x=2，且拋物線經過A（﹣1，0），

∴B（5，0）．

把B（5，0），C（0，﹣5）分別代入y=mx+n得 ，解得： ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣5．

設y=a（x﹣5）（x+1），把點C的坐標代入得：﹣5a=﹣5，解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣4x﹣5

（2）

解：①過點C作CP1⊥BC，交拋物線于點P1，如圖，

則直線CP1的解析式為y=﹣x﹣5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P1（3，﹣8）；

②過點B作BP2⊥BC，交拋物線于P2，如圖，

則BP2的解析式為y=﹣x+5，

由 ，解得： （舍去）， ，

∴P2（﹣2，7）

（3）

解：由題意可知，Q點距離BC最遠時，半徑最大．平移直線BC，使其與拋物線只有一個公共點Q（即相切），設平移后的直線解析式為y=x+t，

由 ，消去y整理得x2﹣5x﹣5﹣t=0，

△=25+4（5+t）=0，解得t=﹣ ，

∴平移后與拋物線相切時的直線解析式為y=x﹣ ，且Q（ ，﹣ ），

連接QC、QB，作QE⊥BC于E，如圖，

設直線y=x﹣ 與y軸的交點為H，連接HB，

則 ，

∵CH=﹣5﹣（﹣ ）= ，

∴ = ，

∴ ，

∵ ，BC= ，

∴QE= ，

即最大半徑為

【解析】（1）根據對稱軸及A點坐標得出B點坐標，從而得出直線BC解析式，再由A、B、C三點坐標得出拋物線解析式；（2）分別過B、C兩點作BC的垂線，得出垂線的解析式，與拋物線解析式聯立解出P點；（3）平移BC到與拋物線剛好相切之處，此時的切點即為Q點，此時Q點距BC的距離最大，也就是半徑最大．由于初中階估沒學點到直線的距離公式，那么這里可以用等面積法進行處理．設切線與y軸的交點為H，則△HBC與△QBC的面積相等，算出面積，再以BC為底，算出BC邊上的高即為答案．