Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3的圖象與x軸交A、B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求點A、B、C的坐標；
（2）點M為線段AB上一點（點M不與點A、B重合），過M作x軸的垂線，與直線AC交于點E，與拋物線交于點P，過P作PQ∥AB交拋物線于點Q，過Q作QN⊥x軸于N，當矩形PMNQ的周長最大時，求△AEM的面積；
（3）在（2）的條件下，當矩形PMNQ的周長最大時，連接DQ，過拋物線上一點F作y軸的平行線，與直線AC交于點G（點G在點F的上方），若FG=2 DQ，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當y=0時，﹣x2﹣2x+3=0，解得x1=1，x2=﹣3，則A（﹣3，0），B（1，0）；當x=0時，y=﹣x2﹣2x+3=3，則C（0，3）；

（2）

解：拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，

設M（x，0），則點P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），

∵點P與點Q關于直線=﹣1對稱，

∴點Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），

∴PQ=﹣2﹣x﹣x=﹣2﹣2x，

∴矩形PMNQ的周長=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）=﹣2x2﹣8x+2=﹣2（x+2）2+10，

當x=﹣2時，矩形PMNQ的周長最大，此時M（﹣2，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，

∴直線AC的解析式為y=3x+3，

當x=﹣2時，y=x+3=1，

∴E（﹣2，1），

∴△AEM的面積= ×（﹣2+3）×1= ；

（3）

解：當x=﹣2時，Q（0，3），即點C與點Q重合，

當x=﹣1時，y=﹣x2﹣2x+3=4，則D（﹣1，4），

∴DQ= = ，

∴FG=2 DQ=2 × =4，

設F（t，﹣t2﹣2t+3），則G（t，t+3），

∴GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，

∴t2+3t=4，解得t1=﹣4，t2=1，

∴F點坐標為（﹣4，﹣5）或（1，0）．

【解析】（1）解方程﹣x2﹣2x+3=0可得A點和B點坐標；計算自變量為0時的函數值可得到C點坐標；（2）先確定拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，設M（x，0），則點P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜﹣1），利用對稱性得到點Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），PQ=﹣2﹣2x，所以矩形PMNQ的周長=2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3），利用二次函數得到當x=﹣2時，矩形PMNQ的周長最大，此時M（﹣2，0），接著利用待定系數法確定直線AC的解析式為y=3x+3，從而得到E（﹣2，1），然后根據三角形面積公式求解；（3）當x=﹣2時得到Q（0，3），再確定D（﹣1，4），則DQ= ，所以FG=2 DQ=4，設F（t，﹣t2﹣2t+3），則G（t，t+3），所以GF=t+3﹣（﹣t2﹣2t+3）=t2+3t，于是得到方程t2+3t=4，然后解方程求出t即可得到F點坐標．