Question

8．先仔細閱讀材料，再嘗試解決問題：
完全平方公式x²±2xy+y²=（x±y）²及（x±y）²的值恒為非負數的特點在數學學習中有著廣泛的應用，比如探求多項式2x²+12x-4的最大（小）值時，我們可以這樣處理：
解：原式=2（x²+6x-2）
=2（x²+6x+9-9-2）
=2[（x+3）²-11]
=2（x+3）²-22
因為無論x取什么數，都有（x+3）²的值為非負數，所以（x+3）²的最小值為0，此時x=-3，進而2（x+3）²-22的最小值是2×0-22=-22，所以當x=-3時，原多項式的最小值是-22
解決問題：
請根據上面的解題思路，探求
（1）多項式3x²-6x+12的最小值是多少，并寫出對應的x的取值．
（2）多項式-x²-2x+8的最大值是多少，并寫出對應的x的取值．

Answer 1

分析 （1）先把給出的式子化成完全平方的形式，再根據非負數的性質即可得出答案；
（2）根據完全平方公式把給出的式子進行整理，即可得出答案．

解答 解：（1）3x²-6x+12
=3（x²-2x+4）
=3（x²-2x+1-1+4）
=3（x-1）²+9，
∵無論x取什么數，都有（x-1）²的值為非負數，
∴（x-1）²的最小值為0，此時x=1，
∴3（x-1）²+9的最小值為：3×0+9=9，
則當x=1時，原多項式的最小值是9；

（2）-x²-2x+8
=-（x²+2x-8）
=-（x²+2x+1-1-8）
=-（x+1）²+9，
∵無論x取什么數，都有（x+1）²的值為非負數，
∴（x+1）²的最小值為0，此時x=-1，
∴-（x+1）²+9的最大值為：-0+9=9，
則當x=-1時，原多項式的最大值是9．

點評 此題考查了配方法的應用，用到的知識點是完全平方公式，非負數的性質，解題的關鍵是把給出的式子化成完全平方的形式．