Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿CB向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．求：

（1）當t=3秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？

（2）若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式．

（3）當t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝

【解析】

（1）在Rt△CPQ中，當t=3秒，可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；
（2）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式=CP×CQ求解；
（3）應分兩種情況：當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據，可將時間t求出；當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據，可求出時間t．

由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，

（1）當t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，

由勾股定理得PQ=；

（2）由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，

因此Rt△CPQ的面積為S=；

（3）分兩種情況：

①當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，

，即，

解得：t=3秒；

②當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，

，即，

解得：t=秒．

因此t=3秒或t=秒時，以點C、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似