Question

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE＝OF；

（2）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形，理由見解析．

【解析】

（1）根據平行線的性質以及角平分線的性質得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，進而得出答案；

（2）根據平行四邊形的判定先證明AECF是平行四邊形，再由證明是矩形即可．

（1）證明：如圖，∵MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．

理由是：當O為AC的中點時，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

由題意可知CE平分∠ACB，CF平分∠ACB，

即

∴平行四邊形AECF是矩形．