Question

如圖，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．動點P從O點出發，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊0A、AB、B0作勻速運動；動直線l從AB位置出發，以每秒1個單位的速度向x軸負方向作勻速平移運動．若它們同時出發，運動的時間為t秒，當點P運動到O時，它們都停止運動．
（1）當P在線段OA上運動時，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；
（2）當P在線段AB上運動時，設直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發時間，使得四邊形CPBD會是菱形．

Answer 1

分析：（1）根據點P與直線l的距離d＜1分為點P在直線l的左邊和右邊，分別表示距離，列不等式組求范圍；
（2）四邊形CPBD不可能為菱形．依題意可得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性質得CD=PB可求t的值，又當四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7-3t，把t代入PA²+AC²，PC²中，看結果是否相等如果結果不相等，就不能構成菱形．設直線l比P點遲a秒出發，則AC=t-a，OC=4-t+a，再利用平行線表示CD，根據CD=PB，PC∥OB，得相似比，分別表示t，列方程求a即可．

解答：解：（1）當P在線段OA上運動時，OP=3t，AC=t，
⊙P與直線l相交時，

4-(3t+t)＜1 (3t+t)-4＜1

，
解得

3

4

＜t＜

5

4

；

（2）四邊形CPBD不可能為菱形．
依題意，得AC=t，OC=4-t，PA=3t-4，PB=7-3t，
∵CD∥AB，
∴

CD

AB

=

OC

OA

，即

CD

3

=

4-t

4

，
解得CD=

3

4

（4-t），
由菱形的性質，得CD=PB，
即

3

4

（4-t）=7-3t，
解得t=

16

9

，
又當四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7-3t，當t=

16

9

時，
代入PA²+AC²=（3t-4）²+t²=

400

81

，PC²=（7-3t）²=

25

9

，
∴PA²+AC²≠PC²，就不能構成菱形．
設直線l比P點遲a秒出發，則AC=t-a，OC=4-t+a，
由CD∥AB，得CD=

3

4

（4-t+a），由CD=PB，得

3

4

（4-t+a）=7-3t，
解得t=

16-3a

9

，
PC∥OB，PC=CD，得

PC

OB

=

AP

AB

，即AB•PC=OB•AP，
3×

3

4

（4-t+a）=5×（3t-4），
解得t=

9a+116

69

，
則

16-3a

9

=

9a+116

69

，
解得a=

5

24

，即直線l比P點遲

5

24

秒出發．

點評：本題考查了直線與圓的關系，勾股定理的運用，菱形的性質．關鍵是根據菱形的性質，對邊平行，鄰邊相等，得出相似比及邊相等的等式，運用代數方法，列方程求解．