Question

【題目】等腰△ABC的直角邊AB=BC=10cm，點P、Q分別從A、C兩點同時出發，均以1cm/秒的相同速度作直線運動，已知P沿射線AB運動，Q沿邊BC的延長線運動，PQ與直線AC相交于點D．設P點運動時間為t，△PCQ的面積為S．

（1）求出S關于t的函數關系式；

（2）當點P運動幾秒時，S△PCQ=S△ABC？

（3）作PE⊥AC于點E，當點P、Q運動時，線段DE的長度是否改變？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）S=（t<10），（t>10）； （2）；（3）不變，理由參見解析．

【解析】

試題由題可以看出P沿AB向右運動，Q沿BC向上運動，且速度都為1cm/s，S=QC×PB，所以求出QC、PB與t的關系式就可得出S與t的關系，另外應注意P點的運動軌跡，它不僅在B點左側運動，達到一定時間后會運動到右側，所以一些問題可能會有兩種可能出現的情況，這時我們應分類回答．

試題解析：（1）當t＜10秒時，P在線段AB上，此時CQ=t，PB=10-t

∴s=×t×(10t)=(10tt2)

當t＞10秒時，P在線段AB得延長線上，此時CQ=t，PB=t-10

∴s=×t×(t10)=(t210t)

（2）∵S△ABC=ABBC=50

∴當t＜10秒時，S△PCQ=(10tt2)=50

整理得t2-10t+100=0無解

當t＞10秒時，S△PCQ=(t210t)="50"

整理得t2-10t-100=0解得x=5±5（舍去負值）

∴當點P運動5+5秒時，S△PCQ=S△ABC.

（3）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變

證明：過Q作QM⊥AC，交直線AC于點M

易證△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四邊形PEQM是平行四邊形，且DE是對角線EM的一半

又∵EM=AC=10

∴DE=5

∴當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變