Question

【題目】在△ABC中，D是BC的中點，且AD＝AC，DE⊥BC，與AB相交于點E，EC與AD相交于點F．過C點作CG∥AD，交BA的延長線于G，過A作BC的平行線交CG于H點．

（1）若∠BAC＝900，求證：四邊形ADCH是菱形；

（2）求證：△ABC∽△FCD；

（3）若DE＝3，BC＝8，求△FCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：（1）首先判定四邊形ADCH是平行四邊形，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一邊判定AD=CD，則易推知結論

（2）由AD=AC，可推出∠ADC=∠ACD；因為ED垂直平分BC，所以BE=CE，進而可得∠ECB=∠B，所以△ABC∽△FCD；

（3）首先過A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．

(1)證明：∵CG∥AD,AH∥CD，

∴四邊形ADCH是平行四邊形。

∵∠BAC=90°，D是BC的中點，

∴AD=CD，

∴四邊形ADCH是菱形；

(2)∵AD=AC，

∴∠ADC=∠ACD，

∵D是BC的中點，DE⊥BC，

∴BE=CE，

∴∠B=∠FCD，

∴△ABC∽△FCD;

(3)過A作AM⊥CD，垂足為M.

∵AD=AC，

∴DM=CM，

∴BD:BM=2:3，

∵ED⊥BC，

∴ED∥AM，

∴△BDE∽△BMA，

∴ED:AM=BD:BM=2:3，

∵DE=3，

∴AM=4.9，

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，

∴.

∵S△ABC=×BC×AM=×8×4.5=18，

∴S△FCD=S△ABC=.