Question

【題目】如圖，已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓，OD∥BC，交⊙O于點D，交AC于點E，連接BD，BD交AC于點F，延長AC到點P，連接PB．

（1）若PF=PB，求證：PB是⊙O的切線；
（2）如果AB=10，BC=6，求CE的長度．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PF=PB，

∴∠PFB=∠PBF，

又∵∠DFE=∠PFB，

∴∠DFE=∠PBF，

∵AB是圓的直徑，

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC．

又∵OD∥BC，

∴OD⊥AC．

∴在直角△DEF中，∠D+∠DFE=90°，

又∵OD=OB，

∴∠D=∠DBO，

∴∠DBO+∠PBE=90°，即PB⊥AB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）解：∵OD∥BC，OA=OB，

∴OE= BC= ×6=3．

∵OD⊥AB，

∴EC=AE．

∵在直角△OAE中，OA= AB= ×10=5，

∴AE= = =4．

∴EC=4．

【解析】（1）根據等邊對等角以及對頂角相等可以證得∠DFE=∠PBF，∠D=∠DBO，然后根據圓周角定理證明△DEF是直角三角形，據此即可證得∠PBA=90°，從而證明PB是切線；（2）根據三角形的中位線定理求得OE的長，然后根據垂徑定理即可求解．
【考點精析】通過靈活運用切線的判定定理，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．