Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=x2—1與x軸交于A、B兩點，頂點為C．

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）若點P為拋物線上的一點，且S△APC=2，求點P的坐標；

（3）如圖2，P（﹣2，﹣2），直線BD交拋物線于D，交y軸于M，連DP交拋物線于E，連BE交y軸于N，求CM ON的值．

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）A（﹣2，0），B（2，0）；（2）P（﹣4，3）或P（2，0）；（3）2．

【解析】試題分析：（1）令y=0，則有0=x2—1，解方程即可得；

（2）在y軸正半軸上取一點M使S△ACM=2，則可得M（0，1），過M作AC的平行線與拋物線的交點即為滿足條件的點；

（3）根據已知設yDP=kx+2k－2，D（x1，y1），E（x2，y2），聯立可得x1+x2=4k，x1·x2=4－8k，從而有，從而可得OM=，同理：ON=，繼而可得OM·ON=．

試題解析：（1）令y=0，則有0=x2—1，解得：x1=-2，x2=2，∴A（﹣2，0），B（2，0）；

（2）由y=x2—1頂點為C，∴C（0，-1），

在y軸正半軸上取一點M使S△ACM=2，

∵A（-2，0），∴M（0，1），

∵A（-2，0），C（0，-1），

∴直線AC：y= ,

過M作AC的平行線MP，則直線MP：y= ，

解方程組 得: ，

∴P（﹣4，3）或P（2，0）；

（3）設yDP=kx+2k－2，D（x1，y1），E（x2，y2），

聯立得x2－4kx－8k+4=0，∴x1+x2=4k，x1·x2=4－8k，

，

當x=0時，OM=，

同理：ON=，

所以OM·ON=．