Question

如圖，以BC為直徑的⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線交于點D，且∠ADC=60°，過B點的⊙O₁的切線交其中一條外公切線于點A．若⊙O₂的面積為π，則四邊形ABCD的面積是       ．

Answer 1

12

解：∵⊙O₂的面積為π，
∴⊙O₂的半徑是1，
∵AB和AH是⊙O₁的切線，
∴AB=AH，
設⊙O₂的半徑是R，
連接DO₂，DO₁，O₂E，O₁H，AO₁，作O₂F⊥BC于F，

∵⊙O₁與⊙O₂外切，⊙O₁與⊙O₂的外公切線DC．DA，∠ADC=60°，
∴D．O₂、O₁三點共線，∠CDO₁=30°，
∴∠DAO₁=60°，∠O₂EC=∠ECF=∠CFO₂=90°，
∴四邊形CFO₂E是矩形，
∴O₂E=CF，CE=FO₂，∠FO₂O₁=∠CDO₁=30°，
∴DO₂=2O₂E=2，∠HAO₁=60°，R+1=2（R﹣1），
解得：R=3，
即DO₁=2+1+3=6，
在Rt△CDO₁中，由勾股定理得：CD=3，
∵∠HO₁A=90°﹣60°=30°，HO₁=3，
∴AH==AB，
∴四邊形ABCD的面積是：×（AB+CD）×BC=×（+3）×（3+3）=12．