Question

【題目】筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車與水面分別交于點、，筒車的軸心距離水面的高度長為，簡車上均勻分布著若干個盛水筒．若以某個盛水筒剛浮出水面時開始計算時間．

（1）經過多長時間，盛水筒首次到達最高點？

（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距離水面多高？

（3）若接水槽所在直線是的切線，且與直線交于點，．求盛水筒從最高點開始，至少經過多長時間恰好在直線上．（參考數據：，，）

Answer 1

【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒

【解析】

（1）先根據筒車筒車每分鐘旋轉的速度計算出筒車每秒旋轉的速度，再利用三角函數確定，最后再計算出所求時間即可；

（2）先根據時間和速度計算出，進而得出，最后利用三角函數計算出，從而得到盛水筒距離水面的高度；

（3）先確定當在直線上時，此時是切點，再利用三角函數得到，

，從而計算出，最后再計算出時間即可．

（1）如圖1，由題意得，筒車每秒旋轉．

連接，在中，，所以．

所以（秒）．

答：盛水筒首次到達最高點所需時間為27.4秒．

（2）如圖2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此時．

所以．

過點作，垂足為，在中，．

．

答：此時盛水筒距離水面的高度．

（3）如圖3，因為點在上，且與相切，

所以當在直線上時，此時是切點．

連接，所以．

在中，，所以．

在中，，所以．

所以．

所以需要的時間為（秒）．

答：從最高點開始運動，7.6秒后盛水筒恰好在直線上．