Question

【題目】（2016浙江省衢州市）如圖1，在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：y=kx+b交x軸，y軸于點(diǎn)E，F，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（2，2），過點(diǎn)B分別作x軸、y軸的垂線，垂足為A、C，點(diǎn)D是線段CO上的動(dòng)點(diǎn)，以BD為對(duì)稱軸，作與△BCD或軸對(duì)稱的△BC′D．

（1）當(dāng)∠CBD=15°時(shí)，求點(diǎn)C′的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)A，且時(shí)（如圖2），求點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，線段BC′掃過的圖形與△OAF重疊部分的面積．

（3）當(dāng)圖1中的直線l經(jīng)過點(diǎn)D，C′時(shí)（如圖3），以DE為對(duì)稱軸，作于△DOE或軸對(duì)稱的△DO′E，連結(jié)O′C，O′O，問是否存在點(diǎn)D，使得△DO′E與△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C′（，1）；（2）；（3）存在，k=，b=1．

【解析】試題（1）利用翻折變換的性質(zhì)得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，進(jìn)而得出CH的長，進(jìn)而得出答案；

（2）首先求出直線AF的解析式，進(jìn)而得出當(dāng)D與O重合時(shí)，點(diǎn)C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，求出即可；

（3）根據(jù)題意得出△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，進(jìn)而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的長進(jìn)而得出答案．

試題解析：（1）∵△CBD≌△C′BD，∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，∴∠CBC′=30°，如圖1，作C′H⊥BC于H，則C′H=1，HB=，∴CH=，∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)為：（，1）；

（2）如圖2，∵A（2，0），，∴代入直線AF的解析式為：，∴b=，則直線AF的解析式為：，∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，∵在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，BC′掃過的圖形是扇形，∴當(dāng)D與O重合時(shí)，點(diǎn)C′與A重合，且BC′掃過的圖形與△OAF重合部分是弓形，當(dāng)C′在直線上時(shí)，BC′=BC=AB，∴△ABC′是等邊三角形，這時(shí)∠ABC′=60°，∴重疊部分的面積是：=；

（3）如圖3，設(shè)OO′與DE交于點(diǎn)M，則O′M=OM，OO′⊥DE，若△DO′E與△COO′相似，則△COO′必是Rt△，在點(diǎn)D由C到O的運(yùn)動(dòng)過程中，△COO′中顯然只能∠CO′O=90°，∴CO′∥DE，∴CD=OD=1，∴b=1，連接BE，由軸對(duì)稱性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，在Rt△BAE和Rt△BC′E中，∵BE=BE，AB=BC′，∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），∴AE=C′E，∴DE=DC′+C′E=DC+AE，設(shè)OE=x，則AE=2﹣x，∴DE=DC+AE=3﹣x，由勾股定理得：，解得：x=，∵D（0，1），E（，0），∴，解得：k=，∴存在點(diǎn)D，使△DO′E與△COO′相似，這時(shí)k=，b=1．