Question

如圖1，線段PB過圓心O，交圓O于A，B兩點，PC切圓O于點C，作AD⊥PC，垂足為D，連接AC，BC．
（1）寫出圖1中所有相等的角（直角除外），并給出證明；
（2）若圖1中的切線PC變為圖2中割線PCE的情形，PCE與圓O交于C，E兩點，AE與BC交于點M，AD⊥PE，寫出圖2中相等的角（寫出三組即可，直角除外）；
（3）在圖2中，證明：AD•AB=AC•AE．

Answer 1

證明：（1）圖1中相等的角有：∠ACD=∠ABC，∠BAC=∠CAD，
連接OC，則OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC．
∴∠CAD=∠OCA．
又OA=OC，∠BAC=∠OCA，
∴∠BAC=∠CAD．
又AB為直徑，∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°
∵∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠ABC．

（2）∠ACD=∠ABE，∠ABC=∠AEC，∠BAE=∠BCE，∠CBE=∠CAE（三組即可）；

（3）由（2）知：∠ACD=∠ABE，
又∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴△ADC∽△AEB．
∴，即AD•AB=AC•AE．
分析：（1）根據弦切角定理得到∠ACD=∠ABC；根據等角的余角相等得到∠BAC=∠CAD；
（2）根據同弧所對的圓周角相等和圓內接四邊形的性質得到相關的角相等；
（3）證△ADC∽△AEB，從而得出所求的結論．
點評：此題綜合考查了圓周角定理的推論、弦切角定理、圓內接四邊形的性質以及相似三角形的判定和性質．