Question

某公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過在本地市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系如下表：

時間t（天）	1	3	6	10	36	…
日銷售量m（件）	94	90	84	76	24	…

未來40天內，前20天每天的價格y₁（元/件）與時間t（天）的函數關系式為（1≤t≤20且t為整數），后20天每天的價格y₂（元/件）與時間t（天）的函數關系式為（21≤t≤40且t為整數）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題：
（1）認真分析上表中的數據，用所學過的一次函數、二次函數、反比例函數的知識確定一個滿足這些數據的m（件）與t（天）之間的關系式；
（2）請預測本地市場在未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？
（3）在第30天，該公司在外地市場的銷量比本地市場的銷量增加a%還多30件，由于運輸等原因，該商品每件成本比本地增加0.2a%少5元，在銷售價格相同的情況下當日兩地利潤持平，請你參考以下數據，通過計算估算出a的整數值．
（參考數據：，，，，）

Answer 1

解：（1）∵根據表格知道日銷售量與時間t是均勻減少的，
∴確定m與t是一次函數關系，設函數關系式為：m=kt+b，
∵當t=1，m=94；當t=3，m=90，
∴，
解之得：，
∴m=-2t+96；

（2）前20天：
∵每天的價格y（元）與時間t天的函數關系式為y=t+25，
而商品每件成本為20元，
∴每件獲取的利潤為（t+25-20）=（t+5）元，
又日銷售量y（件）與時間t（天）的函數關系式為：y=-2t+96，
故：前20天每天獲取的利潤：
P=（t+5）（-2t+96）
=-t²+14t+480
∴P=-（t-14）²+578 （1≤t≤20）
根據二次函數的相關性質可知：t=14時，日獲利潤最大，且為578元；

后20天：
每天的價格y（元）與時間t天的函數關系式為y=-t+40，
而商品每件成本為20元，
故每件獲取的利潤為（-t+40-20）=（-t+20）元，
又日銷售量y（件）與時間t（天）的函數關系式為：y=-2t+96，
故：后20天每天獲取的利潤
P=（-t+20）（-2t+96）
=t²-88t+1920，
∴P=（t-44）²-16 （21≤t≤40），
根據二次函數的相關性質可知：
當t=21時，日獲利潤最大，且為513元
綜合以上：t=14時，日獲利潤最大，且為578元；

（3）在第30天，本地的銷售量為m=-2×30+96=36，銷售價格為：y=-×30+40=25，
依題意得公司在外地市場的銷量為：36×（1+a%）+30，
依題意得：36×（25-20）=[36×（1+a%）+30][25-20（1+0.2a%）+5]，
整理得：3（a%） ²-2a%-10=0，
解得：a%=，則a%₁==≈219%，a%₂=＜0（不合題意舍去），
故a≈219．
分析：（1）通過觀察表格中的數據日銷售量與時間t是均勻減少的，所以確定m與t是一次函數關系，利用待定系數法即可求出函數關系式；
（2）分前20天和后20天分別討論：根據日銷售量、每天的價格及時間t可以列出銷售利潤W關于t的二次函數，然后利用二次函數的性質即可求出哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少；
（3）由于在第30天，利用（1）中結論和已知條件可以求出本地的利潤，也可以根據該公司在外地市場的銷量比本地市場的銷量增加a%還多30件，由于運輸等原因，該商品每件成本比本地增加0.2a%少5元，可以用a列出外地銷售利潤，然后根據在銷售價格相同的情況下當日兩地利潤持平可以列出關于a的方程，解方程即可求解．
點評：此題分別考查了二次函數的應用，一元二次方程的應用等知識，解題的關鍵 首先讀懂題目，正確把握題目的數量關系，根據數量關系分別列出函數關系式和一元二次方程解決問題．