Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連結AC，過點D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若∠BAC=60°，CE=3，則⊙O的半徑是多少？

Answer 1

（1）證明：如圖，連接OD，
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD為△ACB的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∴BD=CD，
∴△ABC為等腰三角形，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠C=60°，AB=BC，
∴∠CDE=30°，
在Rt△CED中，
∵CE=3，∠CDE=30°，
∴CD=BD=6，
∴AB=12，
∴AO=6，即⊙O的半徑等于6．