Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．若直線l的極坐標方程為 ，曲線C的極坐標方程為：ρsin2θ=cosθ，將曲線C上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線C1 ． （Ⅰ）求曲線C1的直角坐標方程；
（Ⅱ）已知直線l與曲線C1交于A，B兩點，點P（2，0），求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

【答案】解：（I）曲線C的極坐標方程為：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化為直角坐標方程：y2=x． 將曲線C上所有點的橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標不變，然后再向右平移一個單位得到曲線C1：y2=2（x﹣1）．
（II）直線l的極坐標方程為 ，展開可得： ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，可得直角坐標方程：x+y﹣2=0．
可得參數方程： （t為參數）．
代入曲線C1的直角坐標方程可得：t2+2 t﹣4=0．
解得t1+t2=﹣2 ，t1t2=﹣4．．
∴|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= = = ．
【解析】（I）曲線C的極坐標方程為：ρsin2θ=cosθ，即ρ2sin2θ=ρcosθ，化為直角坐標方程：y2=x，通過變換可得曲線C1的方程． （II）直線l的極坐標方程為 ，展開可得： ρ（cosθ+sinθ）﹣2=0，利用互化公式可得直角坐標方程．可得參數方程： （t為參數），代入曲線C1的直角坐標方程可得：t2+2 t﹣4=0，利用|PA|+|PB|=|t1﹣t2|= 即可得出．