Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AD邊上的一個動點，將四邊形BCDE沿直線BE折疊，得到四邊形BC′D′E，連接AC′，AD′.

（1）若直線DA交BC′于點F，求證：EF=BF；

（2）當AE=時，求證：△AC′D′是等腰三角形；

（3）在點E的運動過程中，求△AC′D′面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4.

【解析】

（1）根據折疊的性質和平行線的性質得：∠FBE＝∠FEB，則EF＝BF；

（2）如圖1，先根據勾股定理計算BE的長，根據直角邊和斜邊的關系可得：∠ABE＝30°，則△BEF是等邊三角形，最后根據平行線分線段成比例定理，由FC'∥AH∥ED'，得C'H＝D'H，從而得結論；

（3）如圖1，根據三角形面積公式可知：當C'D'最小時，△AC′D′面積最小，如圖2，當C'、A、B三點共線時，△AC′D′面積最小，計算AC'＝2，根據三角形面積公式可得結論．

解：（1）證明：如圖1，由折疊得：∠FBE＝∠CBE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠FEB＝∠CBE，

∴∠FBE＝∠FEB，

∴EF＝BF；

（2）在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝，

∴BE＝，

∴∠ABE＝30°，

∴∠AEB＝60°，

由（1）知：EF＝BF，

∴△BEF是等邊三角形，

∵AB⊥EF，

∴AE＝AF，

過A作AH⊥C'D'，

∵FC'⊥C'D'，ED'⊥C'D'，

∴FC'∥AH∥ED'，

∴C'H＝D'H，

∵AH⊥C'D'，

∴AC'＝AD'，

∴△AC′D′是等腰三角形；

（3）如圖1，S△C'D'A＝AHC'D'＝×4C′D′＝2C'D'，

當C'D'最小時，△AC′D′面積最小，

如圖2，當C'、A、B三點共線時，△AC′D′面積最小，

由折疊得：BC＝BC'＝6，∠C＝∠C'＝90°，

∵AB＝4，

∴AC'＝64＝2，

△AC′D′面積的最小值＝AC′C′D′＝×2×4＝4．