Question

已知：如圖所示，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)A（3，2）．
（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）M（m，n）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0＜m＜3，過(guò)點(diǎn)M作直線MB∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，求M點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由點(diǎn)A為正比例與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=ax中，求出a的值，確定出正比例函數(shù)的解析式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

x

中，求出k的值，確定出反比例函數(shù)的解析式；
（2）過(guò)M作MN垂直于x軸，由M為反比例函數(shù)上的點(diǎn)，將M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出mn=6，同時(shí)由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形，得到四邊形BOCD為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得出BO=DC，又BMNO為矩形，得到MN=BO，由M的縱坐標(biāo)為n，得到MN=BO=DC=n，橫坐標(biāo)為m，得到BM=m，由A的坐標(biāo)得出AC及OC的長(zhǎng)，四邊形OADM的面積=矩形BOCD的面積-三角形BMO的面積-三角形AOC的面積，利用矩形及三角形的面積公式分別表示出各自的面積，將mn=6及四邊形OADM的面積為6代入，得出關(guān)于n的方程，求出方程的解得到n的值，進(jìn)而求出m的值，即可確定出M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（3，2）為正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，
∴將x=3，y=2代入正比例解析式y(tǒng)=ax得：3a=2，解得：a=

2

3

，
將x=3，y=2代入反比例解析式y(tǒng)=

k

x

得：

k

3

=2，解得：k=6，
∴正比例函數(shù)解析式為y=

2

3

x，反比例函數(shù)解析式為y=

6

x

；

（2）過(guò)M作MN⊥x軸于N點(diǎn)．
∵M(jìn)（m，n）（0＜m＜3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，且四邊形OCDB為矩形，
∴mn=6，BM=m，BO=DC=MN=n，
又A（3，2），
∴AC=2，OC=3，又mn=6，
∴S_{四邊形OADM}=S_矩形OCDB-S_△BMO-S_△AOC=3n-

1

2

mn-

1

2

×2×3=3n-6=6，
解得：n=4，
由mn=6，得到4m=6，解得：m=

3

2

，
則M坐標(biāo)為（

3

2

，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于反比例函數(shù)的綜合題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，矩形的判定與性質(zhì)，以及點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系，利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想，是中考中常考的題型．