Question

【題目】閱讀下列材料、并完成任務.

無限循環小數化分數

我們知道分數寫出小數形式即，反過來，無限循環小數寫成分數形式即，一般地，任何一個無限循環小數都可以寫成分數形式.

先以無限循環小數為例進行討論.

設，由可知，，所以，解方程，得，于是，得.

再以無限循環小數為例，做進一步的討論.

無限循環小數，它的循環節有兩位，類比上面的討論可以想到如下做法.

設，由可知，.

所以.解方程，得，于是，.

類比應用（直接寫出答案，不寫過程）

① .② .③ .

能力提升

將化為分數形式，寫出過程.

拓展探究

① ；

②比較大小 1（填“”或“”或“”）；

③若，則 .

Answer 1

【答案】類比應用:①；②；③；能力提升:;拓展探究：①;②；③

【解析】

類比應用：根據轉化分數的方法，設=x，仿照例題的解法即可得出結論；根據轉化分數的方程，分別設=x，=x，仿照例題的解法即可得出結論；
能力提升：設=x,由1000x-x=213求解；

拓展探究：①設x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999，即可得出結果；②先將化成分數即可得出結果；③設=x,y①,則1000x =②,由②-①式可得出結果.

類比應用

解：①設=x，則，所以，解方程，得，得=；

②設=x，，.所以.解方程，得，=；

③設=x，則，.所以.解方程，得.

故答案為：①；②；③；

能力提升

解：設，，

，

，

，

于是.

拓展探究：

①設x,則10x=20.19191919…,1000x=2019.191919…,1000x-10x=1999,所以x=;

②設x,則10x=9.9999…,得10x-x=9,解得x=1,故=1；

③設=x,y,

則1000x=,

所以1000x-y=138,

又x=，所以y=.

故答案為：①；②=；③.