Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AC＝4cm，BC＝3cm，點P由B出發沿BA的方向向點A勻速運動，速度為1cm/s，同時點Q由A出發沿AC的方向向點C勻速運動，速度為2cm/s，連接PQ，設運動的時間為t（s），其中0＜t＜2，解答下列問題：

（1）當t為何值時，以P、Q、A為頂點的三角形與△ABC相似？

（2）是否存在某一時刻t，線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分？若存在，求出此時的t，若不存在，請說明理由；

（3）點P、Q在運動的過程中，△CPQ能否成為等腰三角形？若能，請求出此時t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝或；（2）存在，t＝；（3）能，t＝或t＝．

【解析】

試題分析：（1）分兩種情況討論：①當∠PQA=∠C=90時，△PQA∽△BCA，由題意得：AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對應邊成比例，即，求出t值；②當∠QPA=∠C=90時，△PQA∽△CBA，由題意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對應邊成比例，即，求出t值；（2）先把三角形ABC的面積求出來，過點P作PH⊥CA，垂足為點H，利用三角形相似把高PH用含有t的式子表示出來，再把三角形APQ的面積用含有t的式子表示出來，若線段PQ將△ABC的面積能分成1：2兩部分，則三角形APQ的面積等于△ABC面積的三分之一，或者三分之二，建立方程求解；（3）當△CPQ為等腰三角形時，分三種情況討論：①當PC＝PQ時，過點P作PH⊥CA，垂足為點H，利用△PHA∽△BCA，建立對應邊成比例求出t值；②當CP＝CQ時，過點P作PM⊥CB，垂足為點M，由△BMP∽△BCA可得：BM＝t，MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC 中，由勾股定理建立關于t的一元二次方程，求得t值，并討論t值是否符合題意；③當QP＝QC時，過點Q作PN⊥AB，垂足為點N，由△AQN∽△ABC可得：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理建立關于t的一元二次方程，看是否存在t值且符合題意．

試題解析：（1）先由勾股定理算得AB=5，分兩種情況討論：①如圖1，

當△PQA∽△BCA時，∠PQA=∠C=90，PQ∥BC，AB=5，PB=t，PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對應邊成比例，即，有 ＝， ∴ t＝；②如圖2，

當∠QPA=∠C=90時，△PQA∽△CBA，由題意得：PA=5-t，AQ=2t，利用相似三角形對應邊成比例，即，有＝ ，∴t＝．又∵0＜t＜2，∴t＝或都符合題意，所以當t＝或時，以P、Q、A為頂點的三角形與△ABC相似．（2）過點P作PH⊥CA，垂足為點H，如圖3：

則有△PHA∽△BCA， 對應邊成比例：即 ＝，∴PH＝（5－t）．∴S△APQ＝×2t×（5－t）＝－t2＋3t．而S△ABC=3×4÷2=6，若線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分，則S△APQ＝ S△ABC＝×6＝2或S△APQ＝ S△ABC＝×6＝4，即：－t2＋3t＝2或－t2＋3t＝4．①當－t2＋3t＝2時，整理得：3t2－15t＋10＝0，t 1＝ （t 1＝＞2）（不合題意舍去），t 2＝ ，∴t= 時線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分；②當－t2＋3t＝4時，整理得：3t2－15t＋20＝0，∵△＜0，∴t無解．綜上所述t＝時線段PQ將△ABC的面積分成1：2兩部分；

（3）若△CPQ為等腰三角形，則分三種情況討論：①如圖4，

當PC＝PQ時，過點P作PH⊥CA，垂足為點H，由三線合一可知：HQ＝（4-2t）÷2=2－t，又△PHA∽△BCA，所以，即 = ，解得：t＝；②如圖5，

當CP＝CQ時，過點P作PM⊥CB，垂足為點M，由△BMP∽△BCA可知：，即BM＝t，，即MP＝t，∴CM＝3－t．在Rt△PMC中，PC=CQ=4-2t，由勾股定理得：（t）2＋（3－t）2＝（4－2t）2，整理得：15t2－62t＋35＝0，∴t＝，即t1＝，t 2＝，∵t 1＝＞2．∴t 1＝（舍去），∴t＝．③如圖6，

當QP＝QC=4-2t時，過點Q作PN⊥AB，垂足為點N，由△AQN∽△ABC可知：NQ＝t，NA＝t， ∴PN＝5－t－t＝5－t．在Rt△QNP 中，由勾股定理得：（t）2＋（5－t）2＝（4－2t）2 ，整理得：21t2－50t＋45＝0，∵△＝－1280＜0 ，∴t無解．綜上所述當t＝或t＝時，△CPQ是等腰三角形．