Question

在平面直角坐標系中，矩形ABCD與等邊△EFG按如圖①所示放置：點B、G與坐標原點O重合，F、B、G、C在x軸上，E、A、D三點同在平行于x軸的直線上．△EFG沿x軸向右勻速移動，當點G移至與點C重合時，△EFG即停止移動．在△EFG移動過程中，與矩形ABCD的重合部分的面積S（cm²）與移動時間t（s）的一部分函數圖象是線段MN如圖②所示（即△EFG完全進入矩形ABCD內部時的一段函數圖象）
（1）結合圖②，求等邊△EFG的邊長和它移動的速度；
（2）求S與t的函數關系式，并在圖②中補全△EFG在整個移動過程中，S與t的函數關系式的大致圖象；
（3）當△EFG移動（+1）s時，E點到達P點的位置，一開口向下的拋物線y=，過P、O兩點且與射線AD相交于點H，與x軸相交于點Q（異于原點）．請問a是否存在取某一值或某一范圍，使OQ+PH的值為定值？如果存在，求出a值或a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由圖②可知，△EFG的面積為3cm²；
設△EFG的邊長為xcm，則其面積為：S_△EFG=x•x=3，解得 x=2（cm）；
由圖②可以看出：當點F從原位置運動到點O處過程中，△EFG與矩形ABCD重疊部分的面積時刻在變化著，整個過程共運動了2s，所以有：
△EFG的移動速度：v==m/s；
綜上，等邊△EFG的邊長為2cm，它的移動速度為m/s．

（2）當點E運動到y軸上時，t=1s；當點F運動到y軸上時，t=2s；
∴分三個階段討論（如右圖）：
①當0≤t≤1時，S=t•（×t）=t²；
②當1＜t≤2時，S_△ONF′=•（2-t）•（2-t）=（2-t）²，
所以，重疊部分的面積為：S=S_{△E′F′G′}-S_△ONF′=×2×（×2）-（2-t）²=3-（2-t）²；
③當2≤t≤4時，S=×2×（×2）=3；
綜上，S=，圖象如下：


（3）∵△EFG移動（+1）秒，速度為每秒cm，
∴EP=（+1）=3+，
∴AP=3+-=3，
∴點P（3，3），
∵點P在拋物線上，
∴ab=a-3，
∵拋物線y=x²+bx的對稱軸為直線x=-=-，
∴與x軸的另一個交點Q的坐標為（-ab，0），
拋物線開口向下，a＜0，P、H關于x=-對稱，
當點H在點P右側時，
PH=2（--3）=-ab-6=-（a-3）-6=-a+3-6=-a-3，
∴OQ+PH=2×（-）-a-3=-（a-3）-a-3=-a+3-a-3=-2a，
此時OQ+PH不是定值，舍去；
當點H在點P左側時，
PH=2（3+）=ab+6，
∴OQ+PH=2×（-）+（-a-3）=-ab+ab+6=6，
∴OQ+PH的定值為6，
∵PH≥0，
∴ab+6≥0，
即a-3+6≥0，
解得a≥-3，
又∵a＜0，
∴-3≤a＜0，
綜上，OQ+PH的定值為6，此時相應的a的取值范圍是-3≤a＜0．
分析：（1）此題的關鍵在于讀懂圖②的含義，首先能看出t值在（2～4）時，S是一個定值，可以得出兩個含義：
1、當2≤t≤4時，△EFG在矩形ABCD內部，此時S的值為等邊△EFG的面積，結合等邊三角形的性質以及等邊三角形的面積即可得到該三角形的邊長；
2、當0≤t≤2時，△EFG與矩形的重疊部分的面積在時刻變化著，也就說明了這個過程中，點F從原位置運動到了點O的位置（即FG的長），可以根據這個條件來求△EFG的移動速度．
（2）首先抓住兩個關鍵位置：①點E運動到y軸上時，②點F運動到y軸上時；那么此題可以分作三個階段討論：
1、當點B、E位于y軸兩側時（即0≤t≤1時），△EFG和矩形ABCD的重疊部分是個小直角三角形，它的兩條直角邊可以三角形的運動速度以及特殊角的正切值表示出來，則面積可求；
2、當點E、F位于y軸兩側時（即1＜t≤2時），△EFG和矩形ABCD的重疊部分是個不規則四邊形，其面積可以由等邊三角形減去小直角三角形的面積所得；
3、當△EFG完全處于矩形內部時，它們重疊的部分就是整個等邊三角形，其面積是個定值（由圖②所給的部分函數可得）．
（3）雖然題設的條件較為復雜，但思路并不難，可以先根據△EFG的移動時間求出點P的坐標，代入給出的新拋物線解析式中，可得到a、b的關系式；而點O、H以及P、Q這兩組點都關于拋物線對稱軸對稱，可根據這個特點表示出點H、Q兩點的坐標，則OQ、PH的長可得，那么再判斷OQ+PH是否為定值，若是定值，再進一步求a的取值范圍；
在求a的取值范圍時，可以根據拋物線開口向下（拋物線解析式的二次項系數小于0）以及PH≥0（點P、H可能重合，此時新拋物線頂點位于直線AD上）這兩個條件來解．
點評：此題主要考查的是分段函數問題，涉及了圖形的平移、圖形面積的解法、等邊三角形的性質以及拋物線的性質（包括：二次函數圖象與系數的關系以及拋物線的對稱性）等重要知識點；（2）題中，要注意抓住圖形運動過程中的關鍵位置，以便在分段討論時做到“不重不漏”的要求；（3）題中，點P可能位于拋物線對稱軸的左側，也可能位于對稱軸的右側，這是容易漏解的地方．