Question

【題目】四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點P是平面內一點．且滿足BP⊥PC，現將點P繞點D順時針旋轉90度，則CQ的最大值=_____．

Answer 1

【答案】2+2 ．

【解析】

如圖： 由BP⊥CP可知點P在以BC中點O為圓心，2為半徑的圓上，⊙O繞點D旋轉90°后為⊙O′，則P點旋轉90°后的對應點Q在⊙O′上，所以CO′的延長線與⊙O′的交點是CQ的最大值，過O′作O′E⊥CD延長線于E，通過證明△DEO′≌△DOC可求出DE、EO′的長，根據勾股定理求出CO′的長，進而求出CQ的長即可.

如圖：⊙O旋轉90°得⊙O′，連接CO′交⊙O′于Q，則CQ即為所求，過O′作O′E⊥CD延長線于E，

∵BP⊥CP，

∴P點在在以BC中點O為圓心，2為半徑的圓上，

∵⊙O′是⊙O旋轉90°所得，

∴OD=O′D，

在△DEO′和△CDO中，∠DEO′=∠OCD=90°，∠DO′E=∠ODC，OD=O′D，

∴△DEO′≌△DOC，

∴DE=OC=2，EO′=CD=4，CE=6，

∴CO′= = ，

∴CQ=2+.

故答案為：2+