Question

如圖，拋物線y=x²+mx+（m﹣1）與x軸交于點A（x₁，0），B（x₂，0），x₁＜x₂，與y軸交于點C（0，c），且滿足x₁²+x₂²+x₁x₂=7．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線上能不能找到一點P，使∠POC=∠PCO？若能，請求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

(1)拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3；
(2)能, 點P的坐標是（，﹣），（，﹣）

解析試題分析：
（1）利用根與系數的關系，等式x₁²+x₂²+x_1x2=7．由一元二次方程根與系數的關系，得x₁+x₂=﹣m，x₁x₂=m﹣1．代入等式，即可求得m的值，從而求得解析式．
（2）根據線段的垂直平分線上的點到兩端點的距離相等，求得P點的縱坐標，代入拋物線的解析式即可求得．
試題解析：
解（1）依題意：x₁+x₂=﹣m，x₁x₂=m﹣1，
∵x₁+x₂+x₁x₂=7，
∴（x₁+x₂)²﹣x₁x₂=7，
∴（﹣m）²﹣（m﹣1）=7，
即m²﹣m﹣6=0，
解得m₁=﹣2，m₂=3，
∵c=m﹣1＜0，∴m=3不合題意
∴m=﹣2
拋物線的解析式是y=x²﹣2x﹣3；
（2）能
如圖，設p是拋物線上的一點，連接PO，PC，過點P作y軸的垂線，垂足為D．

若∠POC=∠PCO
則PD應是線段OC的垂直平分線
∵C的坐標為（0，﹣3）
∴D的坐標為（0，﹣）
∴P的縱坐標應是﹣
令x²﹣2x﹣3=，解得，x1=，x2=
因此所求點P的坐標是（，﹣），（，﹣）
考點：二次函數綜合題．