Question

如圖1是2002年8月在北京召開的國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的《勾股圓方圖》由四個全等的直角三角形和一個小正方形的拼成的大正方形．
（1）如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短邊為a，較長邊為b，那么（a+b）²的值是

 

；
（2）（2009年貴州省安順市）若AC=6，BC=5，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到如圖2所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是

 

．

Answer 1

分析：（1）大正方形的面積即a²+b²．小正方形的面積是（b-a）²．已知這兩個式子的值，根據變形就可求解；
（2）如圖，根據勾股定理即可求得：BD，AD的長，即可求解．

解答：解：（1）大正方形的面積即a²+b²=13；小正方形的面積是（b-a）²=a²+b²-2ab=1，即13-2ab=1．解得：2ab=12．
∴（a+b）²=a²+b²+2ab=13+12=25；

（2）在直角△BCD中：BD=

BC2+CD2

=

52+122

=13．
∴風車的外圍周長=4BD+4AD=4×13+4×6=76．

點評：正確理解正方形的面積與直角三角形的邊長之間的關系，是解決本題的關鍵．