Question

已知，如圖，三角形ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AB的中點，直線l經過點C，分別過點A、B作l的垂線，即AD⊥CE，BE⊥CE，
（1）如圖1，當CE位于點F的右側時，求證：△ADC≌△CEB；
（2）如圖2，當CE位于點F的左側時，求證：ED=BE-AD；
（3）如圖3，當CE在△ABC的外部時，試猜想ED、AD、BE之間的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）利用同角的余角相等得出∠CAD=∠BCE，進而根據AAS證明△ADC≌△CEB．
（2）根據AAS證明△ADC≌△CEB后，得其對應邊相等，進而得到ED=BE-AD．
（3）根據AAS證明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，進而得到ED=AD+BE．

解答：（1）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC與△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．

（2）證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC與△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CD-CE，
∴ED=BE-AD．

（3）ED=AD+BE．
證明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°．
∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）．
在△ADC與△CEB中

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC

，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴DC=BE，AD=CE．
又∵ED=CE+DC，
∴ED=AD+BE．

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質；利用全等三角形的對應邊相等進行等量交換，證明線段之間的數量關系，這是一種很重要的方法，注意掌握．