Question

【題目】（1）如圖1,OC平分∠AOB,點P在OC上,若⊙P與OA相切,那么⊙P與OB位置關系是 ．

（2）如圖2,⊙O的半徑為2,∠AOB=120°,

①若點P是⊙O上的一個動點,當PA=PB時,是否存在⊙Q,同時與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,求出⊙Q的半徑; 如果不存在,請說明理由．

②若點P在BO的延長線上,且滿足PA⊥PB,是否存在⊙Q,同時與射線PA.PB相切且與⊙O相切,如果存在,請直接寫出⊙Q的半徑; 如果不存在,請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）相切;（2）①存在,半徑可以為,4 ,,;②存在．其半徑可以為1,．

【解析】

試題（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,則根據角平分線定義得到PD=PE,根據切線的性質由⊙P與OA相切得到PD為⊙P的半徑,然后根據切線的判定定理可得到OB為⊙P的切線;

（2）①由PA=PB得到點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點,分類討論：當P點在優弧AB上時,當P點在劣弧AB上時,然后解四個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑;

②作QH⊥PB于H,由PA⊥PB得∠APB=90°,由⊙Q與射線PA.PB相切,根據切線的性質得PQ平分∠APB,即∠QPH=45°,所以QH=PH,在Rt△POA中易得OP=1,設⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,在Rt△OQH中,根據勾股定理得OQ2=OH2+QH2=（r﹣1）2+r2,

若⊙Q與⊙O內切時,OQ=2﹣r,得到（2﹣r）2=（r﹣1）2+r2,若⊙Q與⊙O外切時,OQ=2+r,得到（2+r）2=（r﹣1）2+r2,然后解兩個方程即可得到滿足條件的⊙Q的半徑．

試題解析：（1）作PD⊥OA于A,PE⊥OB于B,如圖1,

∵OC平分∠AOB,

∴PD=PE,

∵⊙P與OA相切,

∴PD為⊙P的半徑,

∴PE為⊙的半徑,

而PE⊥OB,

∴OB為⊙P的切線;

故⊙P與OB位置關系是相切;

（2）①存在

∵PA=PB,

∴點P為∠AOB的平分線或反向延長線與⊙O的交點,

如圖2,

當P點在優弧AB上時, 設⊙Q的半徑為,

若⊙Q與⊙O內切,可得,解得,

若⊙Q與⊙O外切,可得, 解得,

當P點在劣弧AB上時,

同理可得：x=,x=,

綜上所述,存在⊙Q,半徑可以為,4 ,,;

②存在．作QH⊥PB于H,如圖3,

∵PA⊥PB,

∴∠APB=90°,

∵⊙Q與射線PA.PB相切,

∴PQ平分∠APB,

∴∠QPH=45°,

∴△QHP為等腰直角三角形,

∴QH=PH,

在Rt△POA中,∠AOP=60°,OA=2,

∴OP=1,

設⊙Q的半徑為r,即PH=QH=r,則OH=PH﹣OP=r﹣1,

在Rt△OQH中,OQ2=OH2+QH2=（r﹣1）2+r2,

若⊙Q與⊙O內切時,OQ=2﹣r,則（2﹣r）2=（r﹣1）2+r2,解得r1=1,r2=﹣3（舍去）;

若⊙Q與⊙O外切時,OQ=2+r,則（2+r）2=（r﹣1）2+r2,解得r1=,r2=（舍去）;

綜上所述,存在⊙Q,其半徑可以為1,．

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