Question

【題目】如圖，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同側作正△ABD、正△APE和正△BPC，則四邊形PCDE面積的最大值是 ．

Answer 1

【答案】1
【解析】解：延長EP交BC于點F， ∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，
∴∠EPC=150°，
∴∠CPF=180°﹣150°=30°，
∴PF平分∠BPC，
又∵PB=PC，
∴PF⊥BC，
設Rt△ABP中，AP=a，BP=b，則
CF= CP= b，a2+b2=22=4，
∵△APE和△ABD都是等邊三角形，
∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，
∴∠EAD=∠PAB，
∴△EAD≌△PAB（SAS），
∴ED=PB=CP，
同理可得：△APB≌△DCB（SAS），
∴EP=AP=CD，
∴四邊形CDEP是平行四邊形，
∴四邊形CDEP的面積=EP×CF=a× b= ab，
又∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2≥0，
∴2ab≤a2+b2=4，
∴ ab≤1，
即四邊形PCDE面積的最大值為1．
故答案為：1

先延長EP交BC于點F，得出PF⊥BC，再判定四邊形CDEP為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質得出：四邊形CDEP的面積=EP×CF=a× b= ab，最后根據(jù)a2+b2=4，判斷 ab的最大值即可．