Question

（2001•天津）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=，BC=a，AC=b．且a＞b，若a，b分別是二次函數y=x²-（2k+1）x+k²-2的圖象與x軸兩個交點的橫坐標，求a、b的值．

Answer 1

【答案】分析：根據勾股定理可得出a²+b²=53，根據一元二次方程根與系數的關系可得出a+b=2k+1，ab=k²-2，聯立三式即可得出k的值，進而可通過解方程求出a，b的值．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據勾股定理有：
a²+b²=53
∵a，b分別是二次函數y=x²-（2k+1）x+k²-2的圖象與x軸兩個交點的橫坐標
∴a+b=2k+1，ab=k²-2
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（2k+1）²-2k²+4=53
即k²+2k-24=0．
解得k=4，k=-6．
∵a＞b＞0，
∴a+b=2k+1＞0
∴k＞-
∴k=4
二次函數的解析式為y=x²-9x+14，
令y=0，x²-9x+14=0．
∵a＞b，
∴a=7，b=2．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系，一元二次方程根與系數的關系，勾股定理等知識點．