Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，點O為BC上一點，以點O為圓心、OB的長為半徑作圓，交BC于點F，交AB于點D，過點D作⊙O的切線，交AC于點E．

（1）求證：AE＝DE；

（2）若，CF＝2，BF＝10，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝7．

【解析】

（1）連接OD，利用切線的性質，得到∠ODE＝90°，逐步得到∠A＝∠ADE，等角對等邊即可證明.

（2）在Rt△ABC中，由題意可得BC＝CF＋FB＝12，AC＝9，AB＝15；連接DF，由題意可得△FBD∽△ABC，根據對應邊成比例即可求解.

（1）證明：如圖，連接OD.

∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE＝90°，

∴∠ADE＋∠ODB＝90°.

∵OD＝0B，

∴∠B＝∠ODB，

∴∠ADE＋∠B＝90°

又∵∠A＋∠B＝180°－∠C＝90°，

∴∠A＝∠ADE，

∴AE＝DE.

（2）在Rt△ABC中：BC＝CF＋FB＝12，

∴AC＝9，

∴AB＝＝15.

如圖，連接DF.

∵BF是⊙O的直徑，

∴∠FDB＝90°＝∠ACB.

又∵∠B＝∠B，

∴△FBD∽△ABC，

∴

即

∴BD＝8，

∴AD＝AB－BD＝7.