Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，⊙C的半徑為r（r＞1），P是圓內與圓心C不重合的點，⊙C的“完美點”的定義如下：若直線CP與⊙C交于點A，B，滿足|PA﹣PB|=2，則稱點P為⊙C的“完美點”，如圖為⊙C及其“完美點”P的示意圖．

（1）當⊙O的半徑為2時，
①點M（ ，0）⊙O的“完美點”，點N（0，1）⊙O的“完美點”，點T（﹣ ，﹣ ）⊙O的“完美點”（填“是”或者“不是”）；
②若⊙O的“完美點”P在直線y= x上，求PO的長及點P的坐標；
（2）⊙C的圓心在直線y= x+1上，半徑為2，若y軸上存在⊙C的“完美點”，求圓心C的縱坐標t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）不是；是；是；解：根據題意,,PA﹣PB,=2,∴,OP+2﹣（2﹣OP）,=2,∴OP=1．若點P在第一象限內,作PQ⊥x軸于點Q,如圖1中,∵點P在直線y= x上,OP=1,∴OQ= ,PQ= ．∴P（ , ）．若點P在第三象限內,根據對稱性可知其坐標為（﹣ ,﹣ ）．綜上所述,PO的長為1,點P的坐標為（ , ）或（﹣ ,﹣ ）
（2）解：對于⊙C的任意一個“完美點”P都有|PA﹣PB|=2，

∴|CP+2﹣（2﹣CP）|=2．

∴CP=1．

∴對于任意的點P，滿足CP=1，都有|CP+2﹣（2﹣CP）|=2，

∴|PA﹣PB|=2，故此時點P為⊙C的“完美點”．因此，⊙C的“完美點”是以點C為圓心，1為半徑的圓．

如圖2中，設直線y= x+1與y軸交于點D，當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的下方時，t的值最小．

設切點為E，連接CE，

∵⊙C的圓心在直線y= x+1上，

∴此直線和x軸，y軸的交點C（0，1），F（﹣ ，0），

∴OF= ，OD=1，

∵CE∥OF，

∴△DOF∽△DEC，

∴ = ，

∴ = ，

∴DE= ，t的最小值為1﹣ ．

當⊙C移動到與y軸相切且切點在點D的上方時，t的值最大．

同理可得t的最大值為1+ ．

綜上所述，t的取值范圍為1﹣ ≤t≤1+

【解析】解：（1）點M不是⊙O的“完美點”，

點N是⊙O的“完美點”，

點T是⊙O的“完美點”．

所以答案是不是，是，是．