Question

【題目】如圖，以矩形ABCD對角線AC為底邊作等腰直角△ACE，連接BE，分別交AD，AC于點F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列結論：①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AEAM＝NEFM，其中正確結論的個數是（　　）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

①正確，只要證明A，B，C，D，E五點共圓即可解決問題；

②正確，證明BE平分∠ABC，再證明點M是△ABC的內心即可；

③正確，證明∠EAM＝∠EMA可得EM=AE，即可解決問題；
④正確．如圖2中，將△ABN逆時針旋轉90°得到△AFG，連接EG．想辦法證明△GEF是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題；
⑤錯誤．利用反證法證明即可．

解：如圖1中，連接BD交AC于O，連接OE．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA＝OC＝OD＝OB，

∵∠AEC＝90°，

∴OE＝OA＝OC，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，

∴A，B，C，D，E五點共圓，BD是直徑，

∴∠BED＝90°，

∴EF⊥ED，故①正確，

∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，

∴BM平分∠ABC，

∵AM平分∠BAC，

∴點M是△ABC的內心，

∴CM平分∠ACB，

∴∠MCB＝∠MCA，故②正確，

∵∠EAM＝∠EAC+∠MAC，∠EMA＝∠BAM+∠ABM，∠ABM＝∠EAC＝45°，

∴∠EAM＝∠EMA，

∴EA＝EM，

∵△EAC是等腰直角三角形，

∴AC＝EA＝EM，故③正確，

如圖2中，將△ABN繞點A逆時針旋轉90°，得到△AFG，連接EG，

∵將△ABN繞點A逆時針旋轉90°，得到△AFG，

∴∠NAB＝∠GAF，∠GAN＝∠BAD＝90°，AG＝AN，GF＝BN，

∵∠EAN＝45°，

∴∠EAG＝∠EAN＝45°，

∵AE＝AE，

∴△AEG≌△AEN（SAS），

∴EN＝EG，

∵∠AFG＝∠ABN＝∠AFB＝45°，

∴∠GFB＝∠GFE＝90°，

∴EG2＝GF2+EF2，

∴BN2+EF2＝EN2，故④正確，

不妨設AEAM＝NEFM，

∵AE＝EC，

∴，

∴只有△ECN∽△MAF才能成立，

∴∠AMF＝∠CEN，

∴CE∥AM，

∵AE⊥CE，

∴MA⊥AE（矛盾），

∴假設不成立，故⑤錯誤，

故選：C．