Question

（2013•徐匯區一模）拋物線y=mx²-5mx+n與y軸正半軸交于點C，與x軸分別交于點A和點B（1，0），且OC²=OA•OB．
（1）求拋物線的解析式；                                        
（2）點P是y軸上一點，當△PBC和△ABC相似時，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線x=

5

2

，并且A和B關于直線x=

5

2

對稱，因為點B（1，0），所以A（4，0），又因為OC²=OA•OB，進而求出OC的長，所以C點的坐標可求，從而求出拋物線的解析式；  
（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB=∠OAC，所以當△PBC和△ABC相似時，分兩種情況①當

CP

BC

=

AB

AC

時②當

CP

BC

=

AC

AB

時分別求出符合題意的OP的長，即可求出P點的坐標．

解答：解：（1）由題意，得拋物線對稱軸是直線x=

5

2

，
∵點A和點B關于直線x=

5

2

對稱，點B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA•OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵點C在y軸正半軸上，
∴C（0，2），
∴y=

1

2

x2-

5

2

x+2；
（2）由題意，可得AB=3，BC=

5

，AC=2

5

，
∵OC²=OA•OB，
∴

OB

OC

=

OC

OA

，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似時，分下列兩種情況：
①當

CP

BC

=

AB

AC

時，得

CP

5

=

3

2 5

，∴CP=

3

2

，
∴OP=OC-CP=2-

3

2

=

1

2

，
∴P(0，

1

2

)；
②當

CP

BC

=

AC

AB

時，得

CP

5

=

2 5

3

，∴CP=

10

3

，
∴OP=CP-OC=

10

3

-2=

4

3

，
∴P(0，-

4

3

)，
綜合①、②當△PBC和△ABC相似時P(0，

1

2

)或P(0，-

4

3

)．

點評：本題考查了求二次函數的解析式、相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是要注意分類討論的數學思想運用，防止漏解．