Question

【題目】如圖：△ABC中，ACB=90°，AC=BC，AB=4，點E在BC上，且BE=2，點P在ABC的平分線BD上運動，則PE+PC的長度最小值為（）


A.1
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】作點E關于BD的對稱點E'，連接E'C，如下圖：

∵BD是∠ ABC的平分線，
∴通過作圖知，BP垂直平分EE'，
∴PE'=PE
∴此時PE+PC=PE'+PC=E'C，PE+PC的長度最小，
∵點E、點E'關于BD的對稱，∴BE'=BE=2，
又∵AB=4，∴點E'是AB中點，CE'是中線.
∵△ABC中， ∠ ACB=90°，AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ ABC=45，
∴CE'又是底邊AB的高，
∴△BE'C也是等腰直角三角形，
∴E'C=2，
即：PE+PC的長度最小值為2.
故選B.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用三角形的“三線”和軸對稱-最短路線問題的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握1、三角形角平分線的三條角平分線交于一點(交點在三角形內部，是三角形內切圓的圓心，稱為內心);2、三角形中線的三條中線線交于一點(交點在三角形內部，是三角形的幾何中心，稱為中心);3、三角形的高線是頂點到對邊的距離；注意：三角形的中線和角平分線都在三角形內；已知起點結點，求最短路徑；與確定起點相反，已知終點結點，求最短路徑；已知起點和終點，求兩結點之間的最短路徑；求圖中所有最短路徑．