Question

【題目】已知關于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.

(1)求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根；

(2)若x1，x2是原方程的兩根，且|x1－x2|＝2，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）m1＝1，m2＝－3.

【解析】

試題（1）根據關于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0的根的判別式△=b2﹣4ac的符號來判定該方程的根的情況；

（2）根據根與系數的關系求得x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1；然后由已知條件“|x1﹣x2|=2”可以求得（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=8，從而列出關于m的方程，通過解該方程即可求得m的值；最后將m值代入原方程并解方程．

試題解析: （1）∵△=（m+3）2﹣4（m+1）=（m+1）2+4，

∵無論m取何值，（m+1）2+4恒大于0，

∴原方程總有兩個不相等的實數根．

（2）∵x1，x2是原方程的兩根，

∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1，

∵|x1﹣x2|=2

∴（x1﹣x2）2=（2）2，

∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8，

∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8∴m2+2m﹣3=0，

解得：m1=﹣3，m2=1．

當m=﹣3時，原方程化為：x2﹣2=0，

解得：x1=，x2=﹣，

當m=1時，原方程化為：x2+4x+2=0，

解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．