Question

如圖，已知A點坐標為（5，0），直線y=x+b（b＞0）與y軸交于點B，連接AB，∠α=75°，則b的值為

5 3

3

．

Answer 1

分析：根據直線y=x+b的斜率是1可知∠BCA=45°；然后利用已知條件∠a=75°、外角定理可以求得∠BAC=30°；最后在直角三角形ABO中利用特殊角的三角函數來求OB即b的值即可．

解答：解：∵直線的解析式是y=x+b，
∴OB=OC=b，則∠BCA=45°；
又∵∠α=75°=∠BCA+∠BAC=45°+∠BAC（外角定理），
∴∠BAC=30°；
而點A的坐標是（5，0），
∴OA=5，
在Rt△BAO中，∠BAC=30°，OA=5，
∴tan∠BAO=

OB

OA

=

3

3

，
∴BO=

5 3

3

，即b=

5 3

3

．
故答案是：

5 3

3

．

點評：本題綜合考查了三角形的外角性質、特殊角的三角函數值以及一次函數的斜率的幾何意義．解題時，注意挖掘隱含在題干中的已知條件∠BCA=45°．