Question

【題目】如圖在直角坐標系中，四邊形ABCO為正方形，A點的坐標為（a，0），D點的坐標為（0，b），且a，b滿足（a﹣3）2+|b﹣|＝0．

（1）求A點和D點的坐標；

（2）若∠DAE＝∠OAB，請猜想DE，OD和EB的數量關系，說明理由．

（3）若∠OAD＝30°，以AD為三角形的一邊，坐標軸上是否存在點P，使得△PAD為等腰三角形，若存在，直接寫出有多少個點P，并寫出P點的坐標，選擇一種情況證明．

Answer 1

【答案】（1）D（0，），A（3，0）；（2）DE＝OD+EB； 理由見解析；（3）點P的坐標為：∴P（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣）或（1，0）或（3+2，0）或（3﹣2，0）．證明見解析.

【解析】

(1)根據完全平方式和絕對值的非負性確定a,b的值，從而求點的坐標；

（2）在CO的延長線上找一點F，使OF＝BE，連接AF，通過△AOF≌△ABE，得到AF＝AE，∠OAF＝∠BAE，等量代換得到∠DAF＝∠EAD，進而證明△AFD≌△AED，從而求解；

（3）分三種情形討論求解：AD=DP或AD=AP或PD=AP，分別畫圖根據AD和OA的長確定點P的坐標．

（1）∵（a﹣3）2+|b﹣|＝0，

∴a＝3，b＝，

∴D（0，），A（3，0）；

（2）DE＝OD+EB； 理由如下：

如圖1，在CO的延長線上找一點F，使OF＝BE，連接AF，

在△AOF和△ABE中， ，

∴△AOF≌△ABE（SAS），

∴AF＝AE，∠OAF＝∠BAE，

又∵∠OAB＝90°，∠DAE＝，

∴∠BAE+∠DAO＝45°，

∴∠DAF＝∠OAF+∠DAO＝45°，

∴∠DAF＝∠EAD，

在△AFD和△AED中， ，

∴△AFD≌△AED（SAS），

∴DF＝DE＝OD+EB；

（3）有3種情況共6個點：

①當DA＝DP時，如圖2，

Rt△ADO中，OD＝，OA＝3，

∴AD＝，

∴P1（﹣3，0），P2（0，3），P3（0，﹣）；

②當AP4＝DP4時，如圖3，

∴∠ADP4＝∠DAP4＝30°，

∴∠OP4D＝60°，

Rt△ODP4中，∠ODP4＝30°，OD＝，

∴OP4＝1，

∴P4（1，0）；

③當AD＝AP時，如圖4，

∴AD＝AP5＝AP6＝2，

∴P5（3+2，0），P6（3﹣2，0），

綜上，點P的坐標為：∴P（﹣3，0）或（0，3）或（0，﹣）或（1，0）或（3+2，0）或（3﹣2，0）．

證明：P5（3+2，0），

∵∠OAD＝30°且△ADO是直角三角形，

又∵AO＝3，DO＝，

∴DA＝2，

而P5A＝|3+2﹣3|＝2，

∴P5A＝DA，

∴△P5AD是等腰三角形．