Question

【題目】在中，，分別以、為邊向外作正方形和正方形．

（1）當時，正方形的周長________（用含的代數式表示）；

（2）連接．試說明：三角形的面積等于正方形面積的一半．

（3）已知，且點是線段上的動點，點是線段上的動點，當點和點在移動過程中，的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）詳見解析；（3）的周長最小值為

【解析】

（1）根據正方形的周長公式即可得解；

（2）首先判定，然后即可判定，即可得解；

（3）利用對稱性，當A′、P、Q、F共線時的周長取得最小值，然后利用勾股定理即可得解.

（1）由題意，得正方形的周長為；

（2）連接，如圖所示：

∵∠CBH=∠ABE=90°

∴∠CBH+∠ABC=∠ABE+∠ABC

∴

∵,,

∴

∴的面積的面積正方形的面積

（3）作點關于的對稱點，∴

點關于的對稱點,∴

∵的周長為，即為

當A′、P、Q、F共線時的周長取得最小值，

∴的周長的最小值為

過作的延長線于,

∵

∴∠CAB=45°，AB=AD=

∵∠DAB=90°

∴∠MAA′=45°

∴為等腰直角三角形

∵，

∴

∴

∴

∴的周長最小值為.