Question

在全國抗擊“非典”的斗爭中，黃城研究所的醫學專家們經過日夜奮戰，終于研制出一種治療非典型肺炎的抗生素．據臨床觀察：如果成人按規定的劑量注射這種抗生素，注射藥液后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時間t（小時）之間的關系近似地滿足圖所示的折線．
（1）寫出注射藥液后每毫升血液中含藥量y與時間t之間的函數關系式及自變量的取值范圍．
（2）據臨床觀察：每毫升血液中含藥量不少于4微克時，控制“非典”病情是有效的．如果病人按規定的劑量注射該藥液后，那么這一次注射的藥液經過多長時間后控制病情開始有效這個有效時間有多長？
（3）假若某病人一天中第一次注射藥液是早晨6點鐘，問怎樣安排此人從6：00～20：00注射藥液的時間，才能使病人的治療效果最好？

Answer 1

解：
（1）當0≤t≤1時，設y=k₁t，則6=k₁×1，∴k₁=6，∴y=6t；
當1＜t≤10時，設y=k₂t+b，∴
解得，y=-t+
∴y=

（2）當0≤t≤1時，令y=4，即6t=4，∴t=
（或6t≥4，∴t≥）
當0＜t≤10時，令y=4，即-t+=4，∴t=4．
∴注射藥液小時后開始有效，有效時間長為：4-=（小時）．

（3）設第二次注射藥液的時間是在第一次注射藥液t₁小時后，則-t₁+=4，t₁=4（小時）．
∴第二次注射藥液的時間是10：00；
設第三次注射藥液的時間是在第一次注射藥液t₂小時后，此時體內的含藥量是第一次注射藥液的含藥量與第二次注射藥液的含藥量之和，∴-t₂+-（t₂-4）+=4，解得t₂=9（小時）．
∴第三次注射藥液的時間是15：00；
設第四次的注射藥液時間是在第一次注射藥液t₃小時后，此時體內不再含第一次注射藥液的藥量（∵t＞10），體內的含藥量是第二次注射藥液的含藥量與第三次注射藥液的含藥量之和．
∴-（t₃-4）+-（t₃-9）+=4，
解得t₃=13（小時）．
∴第四次注射藥液的時間是19：30．
∴安排此人注射藥液的時間為：第一次注射藥液的時間是6：00，第二次注射藥液的時間是10：00，第三次注射藥液的時間是15：00，第四次注射藥液的時間是19：30，這樣安排才能使病人的治療效果最好．
分析：（1）觀察函數的圖象可知，本題的函數是個分段函數，應該按自變量的取值范圍進行分別計算．
當0-1小時的時候，函數圖象是個正比例函數，可根據1小時的含藥量用待定系數法進行求解；
當1-10小時時，函數的圖形是個一次函數，可根據1小時和10小時兩個時間點的含藥量用待定系數法求函數的關系式．
（2）在0-1小時的時間段內，當含藥量上升到4微克時，控制病情開始有效，那么讓這個區間的函數值=4求出這個時間點．
同理，可在1-10小時的時間段內求出另一個時間點，他們的差就是藥的有效時間．
（3）可根據（2）中求藥液有效期的方法求出第二次注射的時間，在第三次注射時，要注意算上第二次藥液有效期過后剩余的藥液量，然后參照求第二次注射是時間的方法求出第三次注射的時間，依此類推．
點評：本題主要考查了分段函數的應用，要注意的是不同的自變量的取值范圍內，函數意義的不同．