Question

設是任意兩個不等實數，我們規定：滿足不等式的實數的所有取值的全體叫做閉區間，表示為．對于一個函數，如果它的自變量與函數值滿足：當時，有，我們就稱此函數是閉區間上的“閉函數”．

   （1）反比例函數是閉區間上的“閉函數”嗎？請判斷并說明理由；

   （2）若一次函數是閉區間上的“閉函數”，求此函數的解析式；

   （3）若二次函數是閉區間上的“閉函數”，求實數的值．

Answer 1

解：（1）是；

由函數的圖象可知，當時，函數值隨著自變量的增大而減少，而當時，；時，，故也有，

      所以，函數是閉區間上的“閉函數”.

（2）因為一次函數是閉區間上的“閉函數”，所以根據一次函數的圖象與性質，必有：

①當時， ，解之得，，

②當時， ，解之得，，

         故一次函數的解析式為或.     

（3）由于函數的圖象開口向上，且對稱軸為，

頂點為，由題意根據圖象，分以下三種情況討論：

①當時，必有時，且時，，

即方程必有兩個不等實數根，解得，

而分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

         ②當時，必有時，且 時，，

即

（1）-（2）得 代入（1）得 或 （舍去）,

故此時有滿足題意；

③ 當時，必有函數值的最小值為，

            由于此二次函數是閉區間上的“閉函數”，故必有，

            從而有，而當時，，即得點；

 又點關于對稱軸的對稱點為，

由“閉函數”的定義可知必有，, 又由①知

故可得，符合題意.

綜上所述，,或，為所求的實數.