Question

【題目】在數學興趣小組活動中，小明進行數學探究活動．將邊長為2的正方形ABCD與邊長為3的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一條直線上，AB與AG在同一條直線上．

(1)小明發現DG=BE且DG⊥BE，請你給出證明．

(2)如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時△ADG的面積．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)S△ADG=1+.

【解析】

（1）利用正方形得到條件，判斷出△ADG≌△ABE，根據全等三角形的性質即可得到結論；
（2）利用正方形的性質在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2從而得出AM=DM=，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2從而得出GM=即可．

(1)解：如圖1，延長EB交DG于點H，

∵四邊形ABCD與四邊形AEFG是正方形，

∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE

在△ADG與△ABE中，

∴△ADG≌△ABE(SAS)，

∴∠AGD=∠AEB，

∵△ADG中∠AGD+∠ADG=90°，

∴∠AEB+∠ADG=90°，

∵△DEH中，∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°，

∴∠DHE=90°，

∴DG⊥BE.

(2)解：如圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，

∠AMD=∠AMG=90°，

∵BD是正方形ABCD的對角，

∴∠MDA=45°

在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2，

∴AM=DM=，

在Rt△AMG中，

∵AM2+GM2=AG2，

∴GM=，

∵DG=DM+GM=，

∴S△ADG==1+.