Question

【題目】如圖， 已知等邊， 點在射線上（不與重合），連接， 將射線繞點逆時針旋轉交射線于點，過點作交直線于點.

（1）如圖1，當點D為線段BC中點時，請直接寫出CF，BE，CD三條線段之間的數量；

（2）如圖2，“點在線段上且不是中點時，中結論是否成立？若成立，請說明理由。若不成立，請寫出正確的結論并說明理由；

（3）若，當時，請直接寫出線段的長.

Answer 1

【答案】（1）（2）成立，理由見解析（3）或或

【解析】

（1）由CF∥AB，點D為線段BC中點可得△BDE≌△CDF，根據射線繞點逆時針旋轉，推出∠CDF=30°，CF=CD即可得出結論；

（2）作CG∥EF，可得四邊形是平行四邊形，根據平行線的性質和等邊三角形的性質可推出△BCG≌△CAD即可得出結論；

（3）分點D在線段BC上和點D在BC的延長線上兩種情況進行討論，根據△BDE∽△CDF，對應邊成比例即可求出答案．

（1），

證明：∵△ABC是等邊三角形，點D為線段BC中點，

∴∠ADB=90°，BD=CD，

∵CF∥AB，

∴∠DBE=∠DCF，

∵∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF，

∴BE=CF，

∵射線繞點逆時針旋轉，

∴∠ADE=60°，

∴∠BDE=∠CDF=30°，

∴CF=CD

∴CF+BE=CD；

（2）成立

理由：作CG∥EF，交AB于點G，如圖，

∵

四邊形是平行四邊形

，

∵是等邊三角形

，

又∵，

∵

∴△BCG≌△CAD，

∵

；

（3）當點D在線段BC上，

設CF=x，則EG=x，

∵CF∥AB，

∴△BDE∽△CDF，

∴，

∴ ，

∴，，

當點D在BC的延長線上，如圖，

同理可得：△BCG≌△CAD，

∴BE-CF=CD，

設CF=x，則CD=，

∵CF∥AB，

∴△BDE∽△CDF，

∴，

∴ ，解得：

，（舍去），

綜上所述，CF的長為：或或．