Question

【題目】若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們為“友好拋物線”，拋物線C1：y1=﹣2x2+4x+2與C2：y2=﹣x2+mx+n為“友好拋物線”．

（1）求拋物線C2的解析式．
（2）點A是拋物線C2上在第一象限的動點，過A作AQ⊥x軸，Q為垂足，求AQ+OQ的最大值．
（3）設拋物線C2的頂點為C，點B的坐標為（﹣1，4），問在C2的對稱軸上是否存在點M，使線段MB繞點M逆時針旋轉90°得到線段MB′，且點B′恰好落在拋物線C2上？若存在求出點M的坐標，不存在說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y1=﹣2x2+4x+2=﹣2（x﹣1）2+4，

∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4）．

∵拋物線C1與C2頂點相同，

∴ =1，﹣1+m+n=4．

解得：m=2，n=3．

∴拋物線C2的解析式為y2=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖1所示：

設點A的坐標為（a，﹣a2+2a+3）．

∵AQ=﹣a2+2a+3，OQ=a，

∴AQ+OQ=﹣a2+2a+3+a=﹣a2+3a+3=﹣（a﹣ ）2+ ．

∴當a= 時，AQ+OQ有最大值，最大值為

（3）

解：如圖2所示；連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．

∵B（﹣1，4），C（1，4），拋物線的對稱軸為x=1，

∴BC⊥CM，BC=2．

∵∠BMB′=90°，

∴∠BMC+∠B′MD=90°．

∵B′D⊥MC，

∴∠MB′D+∠B′MD=90°．

∴∠MB′D=∠BMC．

在△BCM和△MDB′中， ，

∴△BCM≌△MDB′．

∴BC=MD，CM=B′D．

設點M的坐標為（1，a）．則B′D=CM=4﹣a，MD=CB=2．

∴點B′的坐標為（a﹣3，a﹣2）．

∴﹣（a﹣3）2+2（a﹣3）+3=a﹣2．

整理得：a2﹣7a+10=0．

解得a=2，或a=5．

當a=2時，M的坐標為（1，2），

當a=5時，M的坐標為（1，5）．

綜上所述當點M的坐標為（1，2）或（1，5）時，B′恰好落在拋物線C2上

【解析】（1）先求得y1頂點坐標，然后依據兩個拋物線的頂點坐標相同可求得m、n的值；（2）設A（a，﹣a2+2a+3）．則OQ=x，AQ=﹣a2+2a+3，然后得到OQ+AQ與a的函數關系式，最后依據配方法可求得OQ+AQ的最值；（3）連接BC，過點B′作B′D⊥CM，垂足為D．接下來證明△BCM≌△MDB′，由全等三角形的性質得到BC=MD，CM=B′D，設點M的坐標為（1，a）．則用含a的式子可表示出點B′的坐標，將點B′的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值，從而得到點M的坐標．