Question

【題目】（題文）如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，直線l與拋物線相交于A（1，），B（4，0）兩點．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在點D，使得△ABD是以線段AB為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

（3）點P是線段AB上一動點，（點P不與點A、B重合），過點P作PM∥OA，交第一象限內的拋物線于點M，過點M作MC⊥x軸于點C，交AB于點N，若△BCN、△PMN的面積S△BCN、S△PMN滿足S△BCN=2S△PMN，求出的值，并求出此時點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）D（1，0）或（0，）或（0，）；（3），M（，）．

【解析】

（1）由A、B兩點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）分D在x軸上和y軸上，當D在x軸上時，過A作AD⊥x軸，垂足D即為所求；當D點在y軸上時，設出D點坐標為（0，d），可分別表示出AD、BD，再利用勾股定理可得到關于d的方程，可求得d的值，從而可求得滿足條件的D點坐標；

（3）過P作PF⊥CM于點F，利用Rt△ADO∽Rt△MFP以及三角函數，可用PF分別表示出MF和NF，從而可表示出MN，設BC=a，則可用a表示出CN，再利用S△BCN=2S△PMN，可用PF表示出a的值，從而可用PF表示出CN，可求得的值；借助a可表示出M點的坐標，代入拋物線解析式可求得a的值，從而可求出M點的坐標．

（1）∵A（1，），B（4，0）在拋物線的圖象上，∴，解得，∴拋物線解析式為；

（2）存在三個點滿足題意，理由如下：

①當點D在x軸上時，如圖1，過點A作AD⊥x軸于點D，∵A（1，），

∴D坐標為（1，0）；

②當點D在y軸上時，設D（0，d），

則，，

且，

∵△ABD是以AB為斜邊的直角三角形，∴

，即，

解得d=，∴D點坐標為（0，）或（0，）；

綜上可知存在滿足條件的D點，其坐標為（1，0）或（0，）或（0，）；

（3）如圖2，過P作PF⊥CM于點F，

∵PM∥OA，∴Rt△ADO∽Rt△MFP，

∴=，∴MF=PF，

在Rt△ABD中，BD=3，AD=，

∴tan∠ABD=，∴∠ABD=60°，

設BC=a，則CN=a，

在Rt△PFN中，∠PNF=∠BNC=30°，

∴tan∠PNF=，

∴FN=PF，∴MN=MF+FN=PF，

∵S△BCN=2S△PMN，

∴，

∴a=PF，

∴NC=a=PF，

∴==，

∴MN=NC==a，

∴MC=MN+NC=（）a，

∴M點坐標為（4﹣a，（）a），

又M點在拋物線上，代入可得=（）a，解得a=或a=0（舍去），OC=4﹣a=，MC=，

∴點M的坐標為（，）．