Question

已知⊙O₁和⊙O₂外切于一點，AB是外切公切線，A、B是切點，如果AB=6，直線AB與O₁O₂所夾的角為30°，則兩圓的半徑分別是

 

．

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，過點O₁作O₂B的垂線，得到∠CO₁O₂=30°，可以求出大圓半徑是小圓半徑的3倍，然后在直角△O₁CO₂中用勾股定理計算可以求出兩個圓的半徑．

解答：解：根據題意畫出圖形，如圖：
連接O₁A，O₂B，
∵AB是兩圓的外公切線，
∴O₁A⊥AB，O₂B⊥AB，
連接O₁O₂，過點O₁作O₁C⊥O₂B，
則：O₁C=AB，∠CO₁O₂=30°，
設⊙O₁的半徑為r，⊙O₂的半徑為R，
在直角△O₁CO₂中，CO₂=

1

2

O₁O₂，
即：R+r=2（R-r）
得到：R=3r．
∴由O₁O₂²=O₁C²+O₂C²得到：
（4r）²=36+（2r）²
解得：r=

3

，
∴R=3

3

．
所以兩圓的半徑分別是：

3

，3

3

．
故答案是：

3

，3

3

．

點評：本題考查的是圓與圓的位置關系，根據兩圓外切得到圓心距等于兩半徑的和，然后由外公切線，過O₁作O₂B的垂線，得到直角三角形，在直角三角形中用勾股定理計算求出兩圓的半徑．