Question

（2012•臨沂）如圖，點(diǎn)A、F、C、D在同一直線上，點(diǎn)B和點(diǎn)E分別在直線AD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
（1）求證：四邊形BCEF是平行四邊形，
（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時，四邊形BCEF是菱形．

Answer 1

分析：（1）由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易證得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC∥EF，即可判定四邊形BCEF是平行四邊形；
（2）由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，所以連接BE，交CF與點(diǎn)G，證得△ABC∽△BGC，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AF的值．

解答：（1）證明：∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，

AC=DF ∠A=∠D AB=DE

，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC∥EF，
∴四邊形BCEF是平行四邊形．

（2）解：連接BE，交CF于點(diǎn)G，
∵四邊形BCEF是平行四邊形，
∴當(dāng)BE⊥CF時，四邊形BCEF是菱形，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴

BC

AC

=

CG

BC

，
即

3

5

=

CG

3

，
∴CG=

9

5

，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=

18

5

，
∴AF=AC-FC=5-

18

5

=

7

5

，
∴當(dāng)AF=

7

5

時，四邊形BCEF是菱形．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握輔助線的作法．