Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的面積為15平方單位，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙M交x軸于D點．
（1）試求OA，OC的長；
（2）試說明D為OA的中點；
（3）直線BC上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形？如果存在，請寫出所有符合題意的點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設OC=x，則OA=x+2，依題意得
x（x+2）=15，
解得x=3，x=-5（舍去），
∴OA=5，OC=3．（4分）

（2）連接DE，因為OE是直徑，所以∠ODE=90°，
在四邊形ODEC中，∠ODE=∠ECO=∠COD=90°，
所以四邊形ODEC是矩形，所以OD=CE=

1

2

BC=

1

2

OA，
即D是OA的中點．（4分）

（3）在直線BC上存在點P，使△AOP是等腰三角形，
∵ED⊥OA，OD=DA，
∴OE=AE，
即△AOE是等腰三角形，點E就是所求的P點，其坐標為（2.5，3）；
當AP=OA時，AP=5，AB=3，根據勾股定理，得BP=4，
∴CP=1或CP=9，
△AOP是等腰三角形，P點坐標（1，3），（9，3）；
同理，當OP=OA時，△AOP是等腰三角形，
此時，P點坐標（4，3）或（-4，3）．（4分）